Analyse dimensionnelle

Analyse dimensionnelle :

 

Nombres adimensionnés :

Le problème dépend des paramètres suivants :

• $\alpha$ : angle de chute (sans dimension)
• l : hauteur de chute (en m)
• D : diamètre de la roche (en m)
• $\rho_r$ : masse volumique de la roche (en kg/m3)
• g : gravité (en  m.s-2)
• U : vitesse de la roche (en m/s)
• F : force de contact entre la roche et la paroi (en kg.m.s-2)

On a sept paramètres et trois dimensions (longueur, temps et masse). On détermine donc quatre nombres adimensionnés  (les paramètres d'adimensionnalisation sont D, g et  $\rho_r$) :

• $\Pi_1 = \alpha$
• $\Pi_2 = \frac{l}{D}$
• $\Pi_3 = \frac {U} {\sqrt{D g }} $
• $\Pi_4 = \frac{F}{D^3 g \rho_r} $ 

Lors du changement d'échelle que nous allons réaliser, il faut garder ces quatre nombres adimensionnés constants.

Changement d'échelle :

Les paramètres sans indice seront les paramètres réels, les indicés avec un "m" seront les paramètres du modèle.

• $\Pi_1$ : on choisit de garder le même angle : $ \alpha_m = \alpha  $   pour la modélisation de la chute sur plan incliné.

• $\Pi_2$ : on a $\frac{l}{D} = \frac{l_m}{D_m} $ et  D=50 cm, l1=10 m (pour la surface plane) et l=50m (pour la surface inclinée). On choisit arbitrairement Dm=5 mm. On obtient lm1=10cm et lm=50 cm et $ \frac{l}{l_m} = \frac{D}{D_m} = 100 $.

• $\Pi_3$ : on choisit de garder la gravité réelle : gm=g. Ce troisième nombre adimensionné donne $ U=\sqrt{\frac{D}{D_m}}  U_m $ soit U = 10 Um.

• $\Pi_4$ : on choisit de garder la même masse volumique pour la roche : $\rho_{r_m} = \rho_r$. On a alors  $ F= ( \frac{D}{D_m} ) ^3  F_m $ soit F = 106 Fm

Ainsi, on a déterminé tous les paramètres du modèle :
Dm = 5 mm
lm1 = 0,1 m
 lm = 0,5 m
gm = g
 $\rho_{r_m} = \rho_r$ (= 2650 kg/m3 pour le granite)

De plus pour obtenir la vitesse et la force de contact réelle à partir des résultats donnés par STAR-CCM +, on utilisera :
U = 10 Um et F = 106 Fm.
 

On peut à présent interpréter les résultats obtenus pour la chute de roches sur un plan horizontal.