Discrétisation des équations

Outre le fait de nous faire développer en langage fortran, ce projet nous plonge dans un contexte industriel, où la capitalisation du savoir est essentielle. Ainsi, plutôt que de coder l'ensemble du problème, nous devions nous adapter à un code déjà existant et lui apporter une plus-value. Il nous a donc été remis un programme résolvant les équations de Navier et Stokes en écoulement incompressible, qu'il s'agissait pour nous de compléter. En particulier, nous avons écrit une fonction résolvant le champ de température que nous avons couplée avec les équations de Navier et Stokes via le terme de forces volumiques.

La résolution du problème se fait par la méthode des volumes finis. Cette approche (imposée par le programme de départ) a sûrement été choisie pour son sens physique. En effet, l'objectif est de suivre le champ de température par un bilan d'énergie. C'est donc naturellement que la formulation conservative de l'approche volumes finis s'impose. Il s'agit de résoudre l'équation de la chaleur. Sous forme conservative, elle s'écrit:

$$  \frac{\partial T}{\partial t} \, + div \left( T \, \vec{u} \right)  = div \left( \kappa \, \overrightarrow{grad} T \right) $$

On s'intéresse donc au transport de la température $T$ advectée par le champ de vitesse $\vec{u}$ et qui diffuse avec un coefficient $\kappa$. L'équation précédente devient, en 2D et en supposant la diffusion isotrope:

$$  \frac{\partial T}{\partial t} \, + \underbrace{  \frac{\partial }{\partial x}  \left( u \, T \right) +\frac{\partial }{\partial y} \left( v \, T \right) }_{advection} = \underbrace{ \kappa \left(   \frac{\partial^2 T }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T }{\partial y^2} \right) }_{diffusion} $$

Il va donc falloir déterminer des schémas pour discrétiser les dérivée temporelle, et spatiales.

 

 

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