2.1 Etude théorique

 

 

Mise en place du Problème :

 

On considère un domaine rectangulaire de hauteur H=0.02m et de longueur L=0.12m.

La température du paroi inférieure est fixée à 310K, et la température du paroi supérieure est à 290K. 

Le problème est supposé plan 2D.

Le régime d'écoulement est laminaire.

 

                                

 

Modèle mathématique :

 

Comme la masse volumique varie avec la température (origine du phénomène), on a donc recours aux équations de Navier Stocks compressibles, cependant, ces équations sont trop complexes, et le modèle incompressible ne rend pas compte les forces de flottabilité. Pour résoudre ce problème, on va garder le modèle incompressible avec l'approximation de Boussinesq, qui va prendre en compte la variation de  la masse volumique  avec la température :

L'approximation de Boussinesq :

 

$$ \frac{\rho}{\rho_r} = 1 - \beta (T-T_r) $$

Avec β le coefficient de dilatation thermique (en K-1), et en identifiant cette équation avec le développement limité à l'ordre 1 de ρ en fonction de la température (à pression constant), on trouve : $$ \beta = - \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{d T} (T=T_r) $$

Et pour un gaz parfait   $$ \beta = \frac{1}{T} $$

L'indice r désigne référence. Pour notre étude $$ T_r=300K $$.

Et donc les équations à résoudre sont :

L'équation de continuité :

$$ div(\vec{U})=0  $$

L'équation de conservation de quantité de Mouvement :

$$  \frac{ d \vec{v}} {d t}+(\vec {v} .\nabla) \vec {v}= -\frac{1}{\rho_r} \nabla (p)+\nu \nabla^2 \vec{v} - \frac{\rho}{\rho_r} g \vec{y}  $$

L'équation de Bilan d'Enthalpie :

$$ \frac{dT}{d t} = \alpha \triangle T $$

On suppose aussi que tous les autres coefficients physiques sont constants.

 

Conditions aux limites :

 

Pour terminer la modélisation de notre problème, il faut définir les conditions initiales et aux limites:

Conditions aux limites cinématiques :

en y=H   u=v=0 (adhérence à la paroi)

en y=0    u=v=0 

Conditions aux limites thermiques :

en y=0  T=310K

en y=H   T=290K

Condition initiale : Ti=300K

 

Le nombre de Rayleigh :

Pour analyser la stabilité de notre phénomène, on va d'abord adimensionnaliser les équations précédentes et travailler avec un modèle adimensionnel. Ce modèle va faire apparaitre un paramètre qui permet de quantifier le seuil de déclenchement de l' instabilité. C'est le nombre de Rayleigh, et qui représente le rapport des forces de flottabilité sur les forces visqueuses (deux forces en compétition) :

$$ Ra=\frac{\beta g H^3 (T_1-T_2)}{\alpha \nu} $$

Avec     T1-T2= 20 K ou °C 

             ν   la viscosité cinématique du fluide.

             g La pesanteur 

         Théoriquement, et dans le cadre de notre étude, le nombre de Rayleigh critique au delà duquel il y a déclenchment d'une instabilité est Rac=1708. A partir duquel il y a formation des rouleaux de convection(rouleaux contre-rotatifs).

Données du problème :

 

                     Tref                               300K
                      ΔT                           20 K ou C°
                     ρref                      1.17862 kg/m3
                       μ                        1.83e(-5)  Pa.s
                       ν                      1.5527e-5 m2/s
                                             2.081e-5  m2/s
                       β                          0.0033  K-1
                      Pr                              0.7461

 

 

 

 

 

2.2 Maillage