Modélisation du problème

Simplifications du problème

  • Nous supposerons que les écoulements en rivières, fleuves et/ou canaux d'irrigation peuvent être considérés comme des écoulements à surface libre à faible profondeur.
  • Lors de cette étude, nous nous limiterons à une résolution 1D :

                          - nous négligerons effets verticaux (vitesses, courants secondaires...)

                          - nous ne rechercherons que les valeurs moyennes de U et h en chaque sections: U(x,t) ; h(x,t)

- nous considérerons que le tracé du bief est rectiligne (pas de virage)

  • Nous ne tiendrons pas comptes non plus du possible déferlement des ondes créées.
  • Nous considérerons que la géométrie des sections est trapézoïdale ou rectangulaire.
  • Nous négligerons les apports d'eau (ruissellement et autres apports du bassin versant)
  • Enfin, nous considérerons un cours d'eau à fond plat avec un seul lit mineur et une berge de chaque coté.

 

Modèle

Nous utilisons le modèle régit par les équations de Saint Venant 1D, en négligeant les termes d'apport :

 

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} =  0$$

$$\frac{\partial U}{\partial t} + U \frac{\partial U}{\partial x} + g' \frac{\partial h}{\partial x} = g(I - J)$$

Avec :    $g' = g.\cos(\gamma)$

           $I = \sin(\gamma)$

  $Q$ le débit

  $S$  la section mouillée

  $U$ la vitesse de l'écoulement

 

Nous considérerons une section de cours d'eau faisant intervenir les pentes $m_1$ et $m_2$, $b$ la largeur au fond, $B$ la largeur à la surface et $h_i^{n}$ la hauteur au $i^{ème}$ pas d'espace et $n^{ème}$ pas de temps. Ceci nous permettra de modifier sa forme à notre guise :

 

Ainsi nous étudierons des sections de formes rectangulaires et trapézoïdales avec des bords plus ou moins inclinés afin d'en déduire les conséquences sur une crue : quelles sont les avantages ou défauts de telle ou telle géométrie lors de la conception d'un canal ? Est-ce réellement influent ? Etc...