Nombre de Strouhal en fonction du Reynolds pour un ß fixé

Même quand le coefficient de traînée (CD) et le nombre de Strouhal (St) dépendent tout les deux de la force appliqué sur le cylindre par le fluide, ils sont liés par des phénomènes différents. Le CD est lié au mouvement longitudinal parallèle à ceux de l'écoulement alors que le nombre de Strouhal est lié aux mouvements transversales, et pourtant, à la fréquence de dégagement tourbillonaire.

Lors de nos simulations numériques, le CD ainsi que le coefficient de portance (CL) ont été enregistrés. Les résultats obtenus pour chaque nombre de Reynolds étudiés sont rapportés dans le tableau 2. Il faut remarquer que nous avons obtenu la convergence des itérations à chaque pas de temps pour tous les simulations, les résidus des solutions sont descendus en dessous de la valeur de tolérance de 1e-5 en moins de 50 itérations. Cela signifie que la valeur de Max itérations / Time steps que nous avons mis auparavant  était suffisante.​

Étant donné que le CL est aussi un paramètre directement lié au mouvement transversale de l'allée de Von Karman et à la fréquence de lâchée tourbillonaire [3] et compte tenu de la périodicité observée lors des simulations nous allons l'utiliser pour déterminer la fréquence de dégagement tourbillonnaire, ce qui nous sera utile pour calculer le Strouhal.

Dans les illustrations de l'évolution du CL, et à partir d'un Reynolds égal a 80, on aperçoit une diminution systématique du temps requis pour atteindre la stabilisation de l'amplitude vibratoire du CL avec le Reynolds. C'est une conséquence de l'augmentation quasi linéaire de la fréquence de dégagement de tourbillons par rapport au nombre de Reynolds , tel que montrée dans l'illustration 11. De plus, les contours de vitesses présentés dans le tableau 2 ( prises au derniers instants de chaque simulation) montrent clairement l'existence de tourbillons de Von Karman pour des Reynolds compris entre 90 - 300.

 
Illustration 11 : Fréquence en fonction du nombre de Reynolds

 

Nous avons cependant une absence d'instabilité pour un Reynolds égale à 48. La théorie pour cette gamme de Reynolds sans confinement prévoient le développement de l'instabilité. Nous émettons l'hypothèse que comme le Reynolds lié à la conduite est inférieur à 310 (Le Re de la conduite est égale à 310 lorsque le Re-cylindre vaut 75 avec le rapport D/H = 0,23) il est suffisamment faible pour imposer un écoulement de Poiseuille en aval du cylindre est supprimer le développement de l'instabilité.   

Pour des Reynolds compris entre 75 et 80, l'instabilité n'a pas le temps de bien se stabiliser durant les 20 secondes de simulation.

Tableau 2 : Coefficient de portance et contour de vitesse par rapport au nombre de Reynolds

Re

[adim]

 Coefficient de Portance

[adim]

Contour de vitesse

[m/s]

48
75
80
90
100
150
225
300

 

Étant donné que la simulation en instationnaire de ces 20 seconds à Reynolds égale à 80 ont pris toute une journée de calcul, nous ne sommes pas arrivés à complètement constater la phase de stabilisation. De plus dû au temps disponible pour le développement du projet nous avons décidé d'arrêter la simulation dans un état qu'on estime être suffisamment proche de la stabilisation.

Pour la suite on considère le Reynolds égal a 80 comme étant «critique» pour l'apparition des allées de Von Karman pour ce cas d'étude avec le rapport D/H=0,23. Dans l'étude suivante seulement les Reynolds égaux ou supérieures à 100 seront prises en compte pour étudier l'effet du confinement et des conditions limites aux parois. Cela afin de pouvoir observer le développement des allées de Von-Karman pour la plupart des confinement par rapport à la gamme de Reynolds étudiée par la suite.

Afin d'extraire de nos tracés de CL la valeur de la fréquence de détachement des tourbillons la plus précise possible, la transformée de Fourier du signal temporel de CL a été effectuée grâce à la fonction fast fourier trasform (fft) sur Matlab. Puis, avec l'équation ci-dessous nous avons calculé le nombre de Strouhal pour chaque cas. Les résultats sont visibles dans l'illustration 12.

$$St =\frac{f\cdot D}{U}$$

Nos résultats se trouvent autour d'une valeur moyenne de St = 0,261 bien au-dessus de la valeur prévue pour l'écoulement autour d'un cylindre sans confinement ( courbe rouge). De plus on obtient une valeur du Strouhal quasi constante alors que sans confinement le St est croissant avec le Re. C'est précisément l'effet du confinement qui semble être la cause de cette différence car le champ de vitesse est ralenti prés des parois du confinement et est donc plus intense prés du cylindre par conservation du débit. Notre hypothèse est que cette augmentation de vitesse autour du cylindre (et donc du Reynolds vu par le cylindre) entraîne en conséquence une augmentation de la fréquence de dégagement des tourbillons et donc du Strouhal. 

Illustration 12 :  Nombre de Strouhal par rapport au nombre de Reynold et comparaison avec les fonctions numeriques de Henderson (1997) [1]

Nous avons validé nos résultats à l'aide d' études similaires mais sans confinement. Nous avons trouvé une bonne concordance entre nos résultats et les expériences faites par Hendreson (1997) [SOURCE] qui a développé des séries numériques pour décrire le comportement du Strouhal en fonction du nombre de Reynolds entre 40 et 1000. Voir illustration 12

Finalement nous avons tracé le pourcentage d'erreur de chaque point calculé par rapport à la valeur moyenne, illustration 13. Nous avons trouvé a partir de Re = 100 des résultats quasis constants avec des erreurs en-dessous de 6%. Ainsi Re = 100 et 300 semblent les meilleurs candidats pour poursuivre l'étude.

Illustration 13 : Pourcentage d'erreur absolu par rapport au Stmoy

Compte tenu de notre désir de rester le plus proche possible du Re «critique» dans le cadre de cet étude nous avons choisi finalement  un Re = 100 pour observer l'influence du rapport des longueurs D/H (ß) et aussi des conditions limites sur les parois dans la suite de notre étude.