Choix de la modélisation

Vitesse de percolation

Dans nos calculs numériques, on considérera la vitesse de percolation égale à la conductivité hydraulique K du milieu.

À partir d'un temps t, le milieu devient saturé et l'eau de pluie ne peut plus s'infiltrer mais ruisselle. La courbe noire i(t) représentant le taux d'infiltration tend vers une valeur constante Ks (que nous appelons K ici). Cette courbe sert à départager la quantité de pluie infiltrée (puis percolée) et la quantité de pluie nette ruisselée pour un bassin hydrologique.


Hyétogramme de pluie et fonction de production infiltration/ruissellement. Source: Cours Hydraulique en milieux poreux par R.Ababou

Ainsi, on comprend que notre approximation selon laquelle i=K pour tout t équivaut à supposer que le milieu est toujours saturé. Il s'agit donc d'une approximation qui sous-estime le temps d'infiltration mais permet d'obtenir un ordre de grandeur correct à de grandes échelles de temps.

Modélisation proposée

Nous avons fait le choix d'une modélisation simple du sol. En première approximation on considère que le sol ne constitue qu'une unique maille d'épaisseur e (on ne s'intéresse pas à la distribution d'eau au sein de la couche étudiée). D'autre part, travaillant en 1D on manipulera des hauteurs d'eau pour la précipitation mais aussi pour la quantité d'eau dans la nappe. Ces hauteurs correspondraient donc bien à des volumes dans un milieu réel en 3D. Il est donc à noter que la "hauteur d'eau dans la nappe" que l'on cherche à calculer ne correspond pas à une hauteur réelle car elle ne prend pas en compte le facteur de porosité de la roche.

Enfin, afin de simplifier le modèle, on supposera que le puits n'extrait de l'eau qu'au bas du milieu étudié.

Pour suivre l'évolution de la hauteur d'eau dans la nappe nous avons dû résoudre l'équation suivante :

Cas d'un sol composé d'une seule couche

Équation générale :

 $\dfrac{dh}{dt}= [P(t).(1-ETP-R)]_{retard} - Pompage $

Discrétisation de l'équation :

$ \dfrac{h(i)-h(i-1)}{\Delta t} = P(t-t_{per}(i-1)).(1-ETP-R) -\dfrac{Q}{S} $

d'où $h(i) = [P(t-t_{per}(i-1)).(1-ETP-R)].\Delta t - \dfrac{Q\Delta t}{S} + h(i-1)$

avec $t _{per}(i) = \dfrac{e-h(i)}{K}$ : temps de percolation de l'eau dans la couche de conductivité K

        P : pluviométrie [en m/j]

        ETP : évapotranspiration [en m/j]

        R : ruissellement [en m/j]

        Q : consommation [en m3/j]

        S : surface d'influence du puits ; on a estimé S = 5 ha = 50 000 m2

        $\Delta t$ : pas de temps ; on prend $\Delta t$ = 1 jour