2. Modélisation numérique

2.1. Algorithme du modèle

• la modélisation est lagrangienne : ce modèle suit un nombre de points fixés par le calcul du nombre d'onde et de l'orientation à partir des équations décrites précédemment.
• la bathymétrie est stockée dans une matrice qui représente un maillage de la zone étudiée.
• le calcul de la profondeur en un point quelconque de la zone est effectué par une méthode barycentrique utilisant les quatre points voisins du point considéré.

On obtient donc pour le calcul de la profondeur la formule suivante :

où l est une grandeur caractéristique ( dans notre cas l = coté de la maille )

Ces considérations étant prises en compte l'algorithme peut être shématisé de la sorte :

Le choix quant à la programmation du code s'est porté sur le logiciel Matlab, car il permet de résoudre l'équation implicite de disperion, et est aussi performant et facile d'utilisation pour les représentations graphiques.

2.2. Résultats de la modélisation

Pour présenter nos résultats, nous avons choisi de vous montrer différents exemples faits à partir de plusieurs bathymétries que nous avons créees nous-même. En effet, nous ne disposions pas d'une bathymétrie réelle d'un format convenant à l'utilisation du programme (format d'un MNT). Toutefois, notre but était d'obtenir une simulation réaliste du phénomène de houle, en tenant compte des limitations imposées par le choix du modèle physique utilisé, et l'utilisation d'une bathymétrie réelle est plus complexe (lissage de la bathymétrie, saisie des données, limites de la modélisation, temps de calcul trop important sous Matlab). Les simulations ci-dessous présentent l'évolution d'une houle de pulsation w=0.5 rad/s.

On observe la convergence des lignes de courant se dirigeant vers un cap et la divergence des lignes de celles se dirigeant vers une baie comme prévu au paragraphe 1.1. De plus, les lignes de crête se resserent avec la diminution de la profondeur. Dans ce cas, le programme s'avère efficace et donne des résultats réalistes.

Réfraction sur la même bathymétrie, mais avec un angle d'incidance de la houle



On remarque très nettement que les lignes de crête tendent à suivre les lignes bathymétriques. Ce résultat est tout à fait convenable.

Réfraction de la houle sur une bathymétrie en virage



Autre image de réfraction sur un virage



Notons que la ligne de courant qui est à l'exterieur du virage subit au départ un gradient vertical du fond trop fort, ce qui a pour effet de lui faire croiser les autres lignes de courant. Cela n'est pas réaliste, mais il s'agit d'une des limites du modèle. En fait, tout porte à penser qu'il se produirait un déferlement.

Réfraction autour d'une ile



Cet exemple est tout à fait caractéristique des limites de notre modélisation. Certes il se produirait un déferlement de la houle au niveau du haut fond d'une profondeur de 7 mètres (la profondeur initiale étant de 44 mètres), et la convergence des rayons est bien respecté. Cependant la présence de fortes variations de gradient au niveau de l'île impose des angulosités abscentes dans la réalité. Ceci provient du modèle physique de Snell qui sous sa forme globale ne permet pas de traiter des problèmes à fortes variations de gradient de profondeur. Une amélioration de notre programme serait d'utiliser la forme différentielle de l'équation de Snell qui permet de traiter ces problèmes.

photo d'un cas réel (guadeloupe) :


image ATPI