Généralités sur les ondes de surface en milieu océanique

L’océan (comme de nombreux systèmes) réagit, lorsqu’il est soumis à une contrainte extérieure, en créant une perturbation à caractère ondulatoire. Ces ondes qui apparaissent sont caractérisées par les contraintes qui les font naître et par les processus physiques qui les entretiennent. Parmi les contraintes à l’origine des ondes observées en milieu océanique, on peut citer les chocs (sonar par exemple), le vent, les séismes, l’attraction des planètes (lune et soleil en particulier. Parmi les processus physiques mis en jeu, on note en particulier les forces d’inertie, de pression, de pesanteur et de tension superficielle. Considérant les différents processus physiques et les contraintes possibles, on aboutit à toute une gamme de phénomènes répertoriés dans le tableau suivant :

Un peu de vocabulaire…

Si on s’intéresse aux ondes de gravité dont la dynamique est gouvernée par les forces de pesanteur et plus particulièrement aux ondes de gravité externes qui se matérialisent par des ondulations de la surface libre (par opposition aux ondes internes qui évoluent au sein même du fluide), on peut citer :

les vagues de vent, qui correspondent à une agitation quasi-permanente de la surface océanique, avec des périodes comprises entre 1 et 30 secondes

	les seiches, mouvements propres de certains bassins fermés (port, lac), dont les oscillations ont des caractéristiques imposées par les dimensions mêmes du bassin (condition de résonance)
	le ressac, dû à l’interaction houle/marée.

Les tsunamis, réponse de l’océan au choc que subit la masse d’eau océanique lors d’un séisme sous-marin. C’est un phénomène transitoire (par opposition aux vagues et houles) qui se présente sous la forme d’une onde solitaire (soliton) qui se déplace très rapidement. Si sa hauteur est généralement faible en plein océan, cette onde (qui peut renfermer une énergie colossale), peut s’amplifier dans des proportions énormes au voisinage des côtes et se présenter alors sous la forme d’une vague gigantesque qui cause des dégâts très importants. Ces phénomènes son particulièrement fréquents dans le Pacifique (Hawaii, Japon)

Les ondes de tempête (ou marée de tempête), onde solitaire générée par les effets conjugués de la pression et du vent lorsqu’une dépression très creuse circule sur une masse d’eau océanique (cyclone tropical). Cette onde se propage sensiblement dans la même direction que la dépression. Elle s’amplifie d’autant plus que la vitesse génératrice est voisine de la vitesse de propagation de l’onde. Elle s’amplifie également quand la profondeur diminue, ses effets pouvant être catastrophiques sur la côte. Des ondes de ce type sont à l’origine de graves inondations au Bengale, à Venise et en Hollande.

Retour à la théorie…

Ce TP est consacré à l’étude de vagues (ou houle) aussi appelées ondes de gravité externes par ce que leur dynamique est gouvernée par la gravité (g) et que l’amplitude des mouvements associés est maximum en surface, et décroît très vite avec la profondeur.

Le modèle d’Airy décrit la houle linéaire. Ce modèle, malgré ses limites, permet d’établir de nombreuses relations utiles pour la description des houles réelles. On tentera au cours de ce TP de valider , par l’expérience les résultats obtenus.

1. Résolution des équations de Navier-Stokes

On rappelle les équatione de Navier-Stokes pour un fluide parfait (la viscosité du fluide est négligée, car elle set faible pour l’eau et les grafients de vitesses sont faibles) :

En outre, on fait les hypothèses suivantes :

	incompressibilité
	Coriolis négligeable
	Mouvement irrotationnel
	r =r o constant

Si l’on écrit que :

Les équations de fluide parfait se réduisent à :

Puisque le mouvement est irrotationnel, il existe un potentiel de vitesse F tel que/

L’équation du mouvement s’écrit

Soit

On peut choisir F à une fonction du temps près telle que f(t)=0.

L’équation de continuité devient :

Cette équation admet des solutions harmoniques. Celles ci sont déterminées par les conditions aux limites. La continuité des vitesses et des forces à la frontière du domaine considéré fournit les conditions suivantes.

Conditions aux limites :

conditions cinématiques

On obtient une équation en traduisant le fait qu’une particule d’eau ne doit pas traverser la surface libre (condition d’imperméabilité valable pour les fluides non visqueux). La vitesses verticale de la particule (w) doit donc être égale à la vitesse de la surface (dh /dt), soit :

Au fond (en z= -d) :

Où n désigne le vecteur normal au fond.

conditions dynamiques

en z= -h (x,t)

Il y a équilibre des forces qui s’exercent de chaque côté de l’interface (pas de masse) soit :

g est la constante de la tension superficielle entre l’air et l’eau et d ^2h /d ²t représente la cambrure de h (x,t). 

En l’absence de forçage par le vent, on peut supposer que P_air= constante et choisir un potentiel de vitesse qui intègre cette constante de telle sorte que le terme de pression atmosphérique disparaît de l’équation de la dynamique. On a donc

Linéarisation du système autour de z=0

On va écrire les conditions relatives à la surface (deuxième troisième équation du système (1))en z=0(surface au repos)., Pour cela on fait un développement limité de F autour de z=0 :

On effectue ensuite un développement en petits paramètres :

On pose h = e h ’₁+ e ^2h ’₂+…

F = e F ’₁+e ^2F ’₂+…

On remplace ces expressions dans le système (1) puis on ne garde que les termes du premiers ordre en e . On obtient :

La dernière équation admet des solutions harmoniques. On cherche donc des solutions sous la forme :

Où a représente l’amplitude de l’onde, k le nombre d’onde, w la pulsation ou fréquence angulaire.

En ne gardant que les parties réelles, on obtient :

Dans le cas particulier de la profondeur infinie (kd>>1) on a :

2. Mouvements orbitaux des particules

Pa04.htm On déduit le mouvement des particules à partir du potentiel de vitesse



En profondeur infinie, on a :

Les trajectoires des particules sont donc des cercles de rayon r = a.e^k.z (z profondeur, k nombre d’onde, a amplitude) en eau profonde et des ellipses en profondeur finie.

Pa04.htm En profondeur infinie, l’amplitude des cercles diminue avec la profondeur de façon exponentielle, ce qui justifie l’appellation onde externe ou de surface.

En profondeur finie, la composante horizontale du mouvement reste constante de la surface au fond tandis que la composante verticale s’amortit de façon exponentielle avec la profondeur. On appelle ce type d’onde " onde de masse " par opposition à celle dite " onde de surface " en eau profonde.

3. Propagation en eau profonde (kd>>1)

La fonction tangente hyperbolique de la relation de dispersion (th(x)) tend vers 1 lorsque x tend vers l’infini.

En pratique on considérera que l’on est en eau profonde lorsque la profondeur sera supérieyre à ma moitié de la longueur d’onde.Pour une houle de 100 mètres de longueur d’onde, on peut se considérer en eau profonde lorsque la profondeur est supérieure à 50 mètres.

La relation de dispersion devient donc

C est une fonction de l qui admet un minimum pour l = l _c. Pour les longueurs d’onde petites devant l _c on parle d’ondes capillaires, engendrées uniquement par la tension interfaciale. Dans ce cas, la célérité de ces ondes décroît avec leur longueur d’onde. Ce sont des ondes à très courte période, qui disparaissent rapidement (risées). Nous les négligerons dorénavant. Si l’on néglige la tension interfaciale g la relation de dispersion devient :

Pour ces ondes de gravit é pure, la célérité augmente avec la longueur d’onde (en eau profonde). En utilisant la relation l = c.T, on obtient les relations approximatives :

La vitesse de phase dépend directement de la longueur d’onde l . Le milieu est donc dispersif : plus les ondes sont longues plus elles sont rapides. On aboutit donc à un filtrage qui isole au bout d’un certain temps les ondes de différentes longueur d’ondes et donc de différentes périodes. Ce sont ces ondes isolées qui forment la houle.

La relation de dispersion peut s’écrire w ² = g.k d’où 2w .dw g.dk

On a également c² = g/k et w = c.k d’où c = g/w

La vitesse de groupe c_g devient donc

c_g = dw /dk = g/2w = c/2

En eau profonde, la vitesse de groupe , vitesse de transmission de l’énergie, est égale à la moitié de la célérité ou vitesse de phase.

4. Propagation en eau peu profonde (kd<<1)

La fonction y = th (x) est équivalente à x au voisinage de 0. Si l’on néglige la tension interfaciale, la relation de dispersion devient donc

Toutes les ondes se propagent à la même vitesse : le milieu n’est plus dispersif. Cette expression est caractéristique des ondes qui intéressent toute la couche d’eau, ou ondes de masse.

La vitese de phase c ne dépendant pas de k, la vitesse de groupe c_g devient

La vitesse de groupe, ou vitesse de transmission de l’énergie, est bien égale en eau peu profonde à la vitesse de phase, ou célérité des crêtes.

Le mouvement des particules d’eau dans cette hypothèse est caractérisé par des trajectoires elliptiques, aussi bien en surface qu’en profondeur. Si la composante verticale s’amortit de façon exponentielle avec la profondeur, la composante horizontale du mouvement resye constante de la surface jusqu’au fond. On appelle ce type d’onde " onde de masse " par opposition à celle dite " onde de surface " en eau profonde.

Tableau récapitulatif