MODELE DE NAVIER-STOKES

HYPOTHESES

EQUATIONS ADIMENSIONNEES

INTRODUCTION DE LA TURBULENCE

MODELE DE ST-VENANT 2D 

Annexe : Règle d'intégration de LEIBNIZ 

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Dans un repère cartésien Oxyz lié à la terre, pour des fluides incompressibles

le système d’équations est le suivant :

Conservation de la quantité de mouvement :

u = (u,v,w) = Vecteur vitesse

p = Pression statique

g = gz est l’accélération de la pesanteur

f = Paramètre de Coriolis

n = Viscosité cinématique (moléculaire)

* On suppose la décomposition suivante :

Solutions linéaires (superposition) = solution autour d’un état d’équilibre + pertubations de faibles amplitudes 

* Approximation SW (c'est à dire kh petit) est vérifiée...

* On néglige les frottements sur le fond (en fait, la turbulence devient vite prépondérante).

* On suppose l’état d’équilibre hydrostatique suivant:

* On suppose que la pression et la densité s’écrivent:

où p’ et r ’ représentent les perturbations de la pression et de la densité.

Quelques calculs intermédiaires ...

Après avoir négligé les contraintes visqueuses, on obtient:

Comme , on utilise l’approximation de Boussinesq :

On introduit les grandeurs sans dimension suivantes :

(repérées par l’indice a)

où :

* L et D sont les échelles caractéristiques des longueurs suivant l’horizontale et la verticale respectivement

* T désigne l’échelle caractéristique du temps

* U et V, celles des vitesses

En tenant compte des ordres de grandeurs suivants:

A partir de (hypothèse SW), on obtient le système adimensionnel

suivant :

L’écoulement peut présenter un caractère turbulent. On décompose chacune des variables précédentes y_a comme la somme d’une partie moyenne (en majuscule) et d’une fluctuation due à la turbulence (en minuscule) ; soit :

Pour simplifier l’écriture, nous noterons la valeur moyenne seulement y.

On moyenne chaque terme des équations précédentes et le résultat obtenu est :

On constate l’apparition du tenseur de Reynolds. Les frottements sont créés par les effets non – linéaire de l’écoulement lui – même.

Jusqu’à présent, nous n’avons que manipuler et simplifier le modèle de N.S. . Pour faire apparaître le modède de ST VENANT, il faut intégrer sur une colonne d’eau (Passage 3D en 2D), en utilisant la règle de LEIBNIZ.

Rappel de la définition de la hauteur d’eau:

La surface libre est donnée par l’élévation par rapport au niveau moyen .

La profondeur définie positive représente est donné par , hauteur du fond à .

Toute la hauteur d’eau s’écrit donc comme h+h .

La méthode utilisée est la même que pour la turbulence.

(Rappel : sans frottements, hypothèse SW et hypothèse de pression hydrostatique)

Conservation de la masse :

Conservation de la quantité de mouvement :

 REMARQUE

Les indices h et b désignent respectivement la surface libre et le fond (bottom).

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