I. Introduction
En 1963, Lorenz publiait ses premiers travaux
sur le calcul d'instabilités et de systèmes chaotiques. Il
étudia tout
particulièrement un système 3D dérivé des
équations de Navier et Stockes et qui porte aujourd'hui son nom
: le système de
Lorenz. A l'époque, où les calculateurs n'en étaient
qu'à leurs balbutiements, il n'avait pu simuler que seulement 500
itérations.
Ainsi, seules quelques boucles de trajectoire n'avaient pu être
décrites. Aujourd'hui, la puissance des calculateurs est telle que
n'importe quel ordinateur personnel est capable de calculer des milliers
d'itérations en quelques secondes.
C'est pourquoi, cette étude nous permettra, après quelques
rappels théoriques, de comparer l'analyse par la théorie
des
systèmes dynamiques et la simulation numérique.
II. Le problème physique
Comme nous le précisions en introduction, le système
de Lorenz est un système simplifié des équations
de Navier et Stockes.
Il traduit le phénomène physique de la convection de
Rayleigh Benard qui est, sans doute, l'instabilité hydrodynamique
la mieux connue et la mieux référencée.
Nous nous attacherons directement au système a proprement dit
sans détailler les simplifications et calculs préalables.
Néanmoins, la base de ce système est les équations
de Navier et Stockes écrites pour un fluide incompressible, dotée
de l'approximation de Boussinesq (Cf. Be Instabilité
de Rayleigh-Bénard)
Nous obtenons alors le système de Lorenz suivant :
(S)
La stabilité de ce système dépend de la valeurs
des paramètres (s,r,b).
Le système de Lorenz à résoudre est le suivant :III. Analyse par la théorie des systèmes dynamiques
(S)
où
On pose le vecteur1) Equilibre
On a alors l’équilibre pour
soit le système
Qui a pour solution
pour
on obtient
Tableau récapitulatif
On utilise la théorie des petites déformations autour du point d’équilibre ce qui permet de linéariser le problème lorsque ce dernier n’est pas linéaire.2) La stabilité
Soit, après simplification :
Pour
On obtient
Calcul des valeurs propres :
Une valeur propre est l1=
b >0
Par ailleurs, on cherche les racines du polynomes du second degré.
Le discriminant est positif, donc les deux dernières valeurs propres
l2;3
sont réelles.
On s’intéresse à leur somme S et produit P:
Leur somme est toujours négative et le signe du produit dépend
de la valeur de r.
Allure des valeurs propres l1;2;3 en fonction de r
Pour que la solution soit stable, il faut que les parties réelles
de toutes les valeurs propres soient négatives. Ici, c’est le cas
pour r<1. Pour r>1, le système sera instable en
.
Portrait de phase au voisinage de
.
On effectue tout d’abord un changement de repère pour passer
dans la base des vecteurs propres associés aux valeurs propres trouvées
précédemment. Soit (f1,f2,f3)
cette base.
On décompose la perturbation U dans cette base, on trouve alors
:
Le système est alors simple à résoudre, on aura
:
ce qui se
résous par :
Dans les plans de phase, on aura les relations suivantes :
On obtient donc des hyperboles.
Stabilité de
L’étude de cette stabilité est très difficile
à mettre en œuvre aussi ne retiendrons-nous que les résultats
obtenus de façon expérimentale grâce à la simulation
numérique.
Résultat obtenu pour sigma=10 et b=8/3
IV. La simulation numérique
1) Le programme
Pour cette partie, un programme FORTRAN a été
écrit, il résous numériquement le système de
Lorenz.
La discrétisation temporelle du systéme d'équations
differentielles de Lorenz a été réalisée par
differentes methodes: tout d'abord, la méthode classique dite d'Euler
puis deux methodes plus élaborées: la méthode de Runge-Kutta
à l'ordre 2 et à l'ordre 4.
Le programme permet de calculer la trajectoire d'une particule régit
par le système de Lorenz en fonction du paramétrage
(s,r,b) et des conditions initiales. Il permet
également de tracer le diagramme de bifurcation représentant
les coordonnées de la particule en fonction du paramétre
r.
Le programme s'appelle Lorenz.exe ( lorentz.for
), il fait appel a un fichier texte donnee.txt
regroupant les données nécessaires à son execution.
Il écrit également les resultats dans le fichier diagra.txt
pour le diagramme de bifurcation, dans le fichier result.txt
et coord.txt pour la trajectoire de la particule.
Ces données ont ensuite été traitées avec
MATLAB et Exel pour la visualisation.
2) Simulations effectuées
Nous avons effectué le calcul de differentes
trajectoires pour des valeurs differentes des parametres (s,r,b)
et des conditions initiales. En pratique, puisque la stabilité du
système dépend essentiellement de r, nous avons fixé
la valeur de s et de b à respectivement
10 et 2.6666667 qui sont des valeurs standards utilisées par Lorenz.
D'après la théorie de Lorenz, il existe 3 états differents du système, pour r<1, pour 1<r<24.74 et pour r>24.74.
Les simulations suivantes ont été réalisées
pour un temps simulé de 100 secondes, un pas de temps de 0.00005,
la méthode utilisée était celle de Runge-Kutta à
l'ordre 4.
Pour r=0.5
Pour r=6
La
condition initiale était (0,-0.1,0)
Il existe deux nouveaux points d'équilibre qui forment deux bassins
attracteurs alors que le point fixe à l'origine est maintenant instable.
Pour r=30
Nous observons ici des boucles imbriquées entre elles, elles
tournent autour d'un attracteur dit attracteur étrange.
Nous avons décidé d'étudier la stabilité
du point 0 en fonction du parametre r.
Pour cela, nous avons effectué 2600 simulations avec une valeur
differente pour le paramètre r variant d'un pas de 0.01.
Chaque simulation démarrait avec la meme condition initiale
(0;0,1;0).
Voici le diagramme que nous obtenu: il représente les dernières
coordonnées x et y calculées en fonction du parametre r.
On peut remarquer que pour:
Ce bureau d'étude nous a permis d'étudier et de comprendre une instabilité hydrodynamique usuelle de la physique. Il nous a également permis de mettre en oeuvre des méthodes numériques servant de comparaison et de complément à la théorie.V. Conclusion
Par ailleurs, quelques secondes suffisent aujourd'hui à calculer
des trajectoires et à visualiser les résultats, si de tels
moyens avaient été mis à la disposition de Lorenz
peut-être lui aurait-i permis d'approfondir ses recherches sur le
sujet?