Afin d'essayer de déterminer les zones inondées en cas de débordement, nous avons décidé d'utiliser le logiciel TELEMAC 2D qui possède l'option "bancs découvrants". Mais ne disposant pas des données bathymétriques nous avons dû restreindre notre domaine d'étude au dernier tronçon du cours d'eau à savoir entre les ouvrages hydrauliques 5 et 6 (ponts sans piles).

Le RTM nous a fourni le plan du cadastre du village d'Auzat, nous avons alors digitalisé les coordonnées de tous les points qui nous ont semblé utiles pour l'étude de la région qui nous intéresse. Nous avons alors les coordonnées x et y de chaque point, il reste à leur affecter une altitude. Pour les points du cours d'eau, connaissant la cote du fond et les hauteurs de berge nous avons pu en déduire les altitudes. Par contre pour les points des terrains situés sur les côtés du ruisseau, nous avons pris des pentes qui nous semblent en accord avec ce que l'on a observé sur place à savoir 6 pour mille pour le terrain rive gauche et 3 pour mille pour le terrain rive droite. La pente moyenne du ruisseau sur ce bief étant de 3 pour mille, nous avons modélisé les deux terrains par des plans dont les équations ont été calculées à partir des pentes estimées, tout en veillant à ne pas avoir de berges verticales car c'est une trop forte discontinuité pour le mailleur.

Notre domaine d'étude est restreint au bief le plus en aval afin de voir l'étendue des zones inondées. On a donc un domaine d'une surface d'environ 150m sur 150m et avec une dénivellation totale d'environ 1m.

VUE 3D simplifiée

Vue 3D obtenue avec la bathymétrie

Maillage

Pour concevoir le maillage, on utilise le mailleur Matisse. Il faut d'abord créer un fichier avec les bathymétries sous format "sinusx" où les points du contour du domaine sont séparés des autres points du domaine. Il faut ensuite créer les lignes géométriques et des "points durs" qui sont les points anguleux appartenant au contour du domaine physique. Le lit majeur du ruisseau faisant parfois jusqu'à 7m de large nous avons imposé comme "critère" une largeur de maille de 1m dans le lit et 5m de large sur le reste du domaine. Après avoir généré le MNT (Modèle Numérique de Terrain), on peut lancer le calcul du maillage.

Notre maillage comporte plus de 3600 noeuds.

Pour notre étude le choix des conditions initiales et aux limites est capital et est assez problématique car on ne dispose d'aucune donnée du type débit en fonction de la hauteur d'eau : Q(H). La démarche suivie est la même pour les deux crues, seules les valeurs numériques et les temps de convergence sont différents.

Dans un premier temps nous avons généré un état permanent sans débordement en imposant un débit relativement faible : Q= 1m3/s et en imposant en sortie une fonction Q(H). Vu la configuration, la hauteur d'eau est probablement comprise entre la hauteur critique et la hauteur normale. En approximant la section de sortie par une section rectangulaire en régime uniforme, on peut utiliser la formule de Manning-Strickler :

                                                

Avec des valeurs moyennes de L= rm, I= 6/1000 et Ks= 25, on obtient donc Q= 9.6*H^5/3.
Ensuite on part de cet état stationnaire en reprenant les résultats qui ont convergé et on injecte un hydrogramme de crue en amont. 

• Conditions aux limites
  
  *entrée
  On rentre un hydrogramme de crue simplifié de la forme, pour la crue centennale :
  
                                      
  * sortie
  Pour s'approcher le plus de ce qui se passe en réalité, nous avions d'abord pensé rentrer en aval une fonction Q(H). Mais finalement nous avons laissé les conditions libres afin que le calcul puisse converger correctement.
  
  
• Conditions initiales
  Elles sont données par le fichier de résultats issu d'un calcul préliminaire qui a permis d'atteindre un régime permanent dans le ruisseau sans débordement (avec Q=1m3/s) grâce à l'option "arrêt des calculs si régime permanent atteint".

 Résultats pour la crue décennale

Les temps de calcul étant très élevés et les capacités de mémoire limitées nous avons séparé le calcul en deux étapes : d'abord la montée de la crue et son régime établi soit deux heures, puis la décrue soit deux heures aussi. L'état obtenu à la fin du premier calcul est injecté comme condition initiale pour le deuxième calcul grâce à l'option "suite de calcul".
Pour la première étape nous avons utilisé un pas de temps de 0.25s pour une durée totale de 7200s. Ce calcul a duré environ 5 heures !
Pour la seconde étape nous avons utilisé un pas de temps de 0.1s pour là aussi une durée de 7200s. Ca calcul a duré plus de 10heures !
Voici les différents résultats que nous avons obtenu :

• Débit scalaire (m2/s)
  
                                          
  Le débit scalaire est le débit par unité de largeur (3 à 5m selon le lieu où on se place sur le ruisseau), il est représenté ici à T=6000s soit Q=15m3/s.
  
  
• Hauteur d'eau (m)
  
                                                                                      Etat initial
                                     
  
  

T =3600s

T =7200s

On voit bien que l'augmentation du débit en entrée (montée de la crue) entraîne une augmentation de la hauteur d'eau entre l'état initial et l'instant t =3600s où Q=15m3/s. De plus en régime établi c'est-à-dire pour Q =15m3/s, on voit que les zones inondées ne cessent de croître car le ruisseau ne parvient plus à évacuer le surplus d'eau. En outre la rive droite du ruisseau est toujours plus inondée car les digues de ce côté ne font que 80cm de haut et la pente de ce terrain est plus faible.
Voyons maintenant la décrue :

On voit que l'évacuation de l'eau excédentaire se fait assez rapidement car après 53 minutes environ de décrue, toute la rive gauche (plus pentue) n'est plus inondée et les hauteurs d'eau sur la rive droite sont nettement diminuées. Enfin si on compare les deux graphes ci-dessus on voit qu'en 40 minutes les hauteurs d'eau deviennent négligeables.

                                                                                        Etat final
                                                                                                         

• Nombre de Froude
  
  On peut aussi tracer le profil du nombre de Froude afin de vérifier les résultats obtenus lors des calculs de lignes d'eau.
  
  

Ces profils du nombre de Froude ont été tracés pour T = 6000s (Q=34m3/s) et le long des segments représentés sur la surface colorée qui figure sur chaque graphe (Il faut noter que l'échelle des abscisses sur le premier graphe a été remise à zéro par inadvertance!). On vérifie bien que l'écoulement est torrentiel (Froude>1) au début de notre domaine d'étude donc au niveau de l'ouvraghe hydraulique 5, et que l'écoulement est fluvial ailleurs.

• Vecteurs vitesse
                                          

La visualisation des vecteurs vitesse permet de mettre en évidence les endroits où les efforts sont les plus importants. Ici nous avons tracé les vecteurs vitesse à T=6000s (régime de crue établi Q=15m3/s), on voit au niveau du virage que les vitesses sont les plus élevées. Les constructions placées dans l'extrados risquent donc d'être sollicitées. On peut aussi voir des trajectoires curvilignes sur la rive droite, ceci est dû au fait que ce terrain est un peu incurvé comme on le devine sur la vue 3D présentée plus haut.
On peut d'ailleurs visualiser les lignes de courant : à deux instants différents, on injecte une cinquantaine de particules d'eau dans la section représentée et on suit leur mouvement. On obtient :



T= 6000s (Q=15m3/s)

T =10400s (Q=8.8m3/s)

 Résultats pour la crue centennale

Nous avons procédé de même pour la crue centennale de débit Q=34m3/s.

• Débit scalaire (m2/s)
  
  

T =7200s

T =10400s

On constate qu'après une heure de régime de crue, il y a du débit sur la rive droite. Lors de la décrue (graphe de droite, même légende que pour l'autre) les débits scalaires sont très faibles.

• Hauteurs d'eau
  
  On part du même état initial que pour la crue décennale, nous avons pris les mêmes pas de temps pour chaque étape mais les calculs furent encore plus longs !
  
  

On peut voir sur les deux graphes ci-dessus la montée de la crue à travers son effet sur les hauteurs d'eau : des zones non inondées au bout de 30min (à gauche, t =1800s) se retrouvent, une demi-heure après, sous quelques dizaines de centimètres d'eau.

Ici on est en plein régime de crue (Q=34m3/s) et on note peu d'évolution entre les instants T =6000s et T =7200s.

Enfin on peut visualiser ici la décrue progressive du ruisseau, à gauche, jusqu'à un retour à l'état initial à 1m3/s.

• Nombre de Froude
  Comme précédemment on peut tracer les profils tout le long du ruisseau. Le premier n'étant pas très bien situé on a du mal à voir le passage en torrentiel à l'entrée du domaine. Sur le reste du domaine on constate que l'écoulement est fluvial (Froude<1).
  

• Vecteurs vitesse
  
  

T = 6000s

T =14400s

Nous avons représenté les vecteurs vitesse à deux instants distincts T=6000s (Q=34m3/s) et en fin de crue. Les vitesses en période de crue centennale sont trois fois supérieures à celles observées pour la crue décennale. Comme on l'a déjà mentionné les constructions situées au niveau de l'extrados (entre x=350m et x=400m environ) sont sollicitées mais dans des proportions plus importantes et peuvent donc être en danger.

Là aussi on peut tracer des lignes de courant à T =6000s :

                                                

Conclusion

Les résultats de nos simulations paraissent assez réalistes. Néanmoins nous restons conscients des limitations physiques que présente notre modèle : par exemple non prise en compte de débit de fuite ou d'apport, d'éventuels phénomènes d'embâcle, et des phénomènes d'infiltration sur la rive gauche où il y a des champs.